问题

给定一个矩阵方程 $$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{C} $$ 其中 $\mathbf{B}$ 是方阵, $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 的形状相同,问如何求解 $\mathbf{B}$ ?

解答

$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 的形状相同,如果它们都是方阵,则 $$ \begin{align} \mathbf{A} \times \mathbf{B} ={}& \mathbf{C} \
\mathbf{A}^{-1} \times \mathbf{A} \times \mathbf{B} ={}& \mathbf{A}^{-1} \times \mathbf{C} \
\mathbf{B} ={}& \mathbf{A}^{-1} \times \mathbf{C} \label{eq:easy} \end{align} $$

但 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 未必是方阵,所以不存在逆矩阵,也就无法通过等式左右同时左乘 $\mathbf{A}^{-1}$ 的方法直接求出 $\mathbf{B}$ 。那么此时如何求解 $\mathbf{B}$ 呢?

既然 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 不是方阵,那么把它们变换成方阵不就好了吗?因此等式左右共同左乘 $\mathbf{A}^{T}$ ,即可将 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 变换成方阵,即 $$ \begin{align} \mathbf{A}{m\times n} \times \mathbf{B}{n\times n} ={}& \mathbf{C}{m\times n} \
\mathbf{A}^{T}
{n\times m} \times \mathbf{A}{m\times n} \times \mathbf{B}{n\times n} ={}& \mathbf{A}^{T}{n\times m} \times \mathbf{C}{m\times n} \
\mathbf{A}'{n\times n} \mathbf{B}{n\times n} ={}& \mathbf{C}'_{n\times n} \label{eq:difficult} \end{align} $$ $\eqref{eq:difficult}$ 即是我们熟悉的形式,直接使用 $\eqref{eq:easy}$ 的解法即可解得 $\mathbf{B}$ 。